>>>கணிதத்தின் மாறிலிகள்

கணிதத்தின் நிலைப்பிகளில் (மாறிலிகளில்)(Mathematical constants) மிகச் சிறப்பானவை மூன்று. அவைகளின் குறியீடுகள் உலகனைத்திலும் எல்லா மொழிகளிலும் ஒரே விதமாக இருப்பதே அவைகளின் முக்கியத்துவத்தைக் காட்டுகின்றன. அவை

• அடுக்குமாறிலி e (the exponential)

• π என்ற கிரேக்க எழுத்தால் அறியப்படும் பை, மற்றும்,

• கற்பனை எண் என்று தவறுதலாகவே குறிக்கப்பட்டு வழக்கில் அப்படியே நிலைபெற்றிருக்கும் i.

ஆய்லர் எண் e

e = 2.718281828459... இது ஒரு விகிதமுறா எண்(irrational number) மட்டுமல்ல; ஒரு விஞ்சிய எண்ணுங்கூட (transcendental number) . இது விகிதமுறா எண் என்பதை ஆய்லர் 1737 இல் நிறுவினார். (பார்க்க: அடுக்குமாறிலி e ஒரு விகிதமுறா எண்). விஞ்சிய எண் என்பதை 1873 இல் ஹெர்மைட் என்பவர் நிலைநாட்டினார். இதை ஆய்லர் எண் என்று சொல்வது பொருந்தாது என்ற மாற்றுக்கருத்தும் உண்டு.

π

π = 3.14159….

இதை 1767 இல் லாம்பர்ட் ஒரு விகிதமுறா எண் என்று நிறுவினார். 1882 இல் லிண்டெமன் இதுவும் ஒரு விஞ்சிய எண்ணே என்று நிறுவி சாதனை புரிந்தார்.

அமைகண எண் i

இதை கற்பனை எண் என்றும் சொல்வதுண்டு. ஆனால் இது அப்படியொன்றும் கற்பனையில் மாத்திரம் இருக்கும் எண்ணல்ல. பலக்கெண் தளத்தில் (complex plane) ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் இரண்டு ஆயங்கள் உள்ளன. அவைகளில் (0, 1) என்ற புள்ளி தான் அமைகண எண் i . எந்த பலக்கெண்ணையும் i ஆல் பெருக்கினால் பலக்கெண்தளத்தில் அவ்வெண்ணின் இடம் 90 பாகை அல்லது சுழியளவு இடச்சுழியாகத் திரும்பும். அதனால் இதையே மறுபடியும் i ஆல் பெருக்கினால் (0,1) என்ற இடத்தில் இருக்கும் i (-1,0) என்ற இடத்திற்குப் போய்ச் சேரும். இதைத்தான் கீழேயுள்ள சமன்பாடு சொல்கிறது:

ஆய்லருடைய முற்றொருமைச்சமன்பாடு

e^iπ = -1

இதுதான் ஆய்லருடைய முற்றொருமைச் சமன்பாடு. இதனில் மூன்று சிறப்பு மாறிலிகளும் சம்பந்தப்படுகின்றன என்பது இதன் முதல் சிறப்பு. இதைத்தவிர இந்த முற்றொருமைக்கு இன்னும் பல சிறப்புகளும் உள்ளன.